ISTITUTO PER LE APPLICAZIONI DEL CALCOLO - SEZIONE DI FIRENZE

HOME

INFORMAZIONI

PERSONE

PROGETTI DI RICERCA

EVENTI

PUBBLICAZIONI

BIBLIOTECA

LINKS

 
PROGETTI DI RICERCA

L'Istituto di Analisi Globale ed Applicazioni svolge ricerche principalmente sui temi:

Problemi inversi per equazioni differenziali

Tomografia discreta


Problemi inversi per equazioni differenziali

Questa linea di ricerca comprende varie questioni che traggono origine da settori applicativi diversi, riconducibili a problemi matematici trattabili con tecniche comuni. Si tratta di ricostruire parametri caratteristici del modello matematico e/o proprietà delle soluzioni utilizzando dati sovrabbondanti al contorno. Tale classe di problemi necessita di strumenti appropriati trattandosi in genere di problemi non lineari e mal posti. Si elencano di seguito le principali motivazioni di tale ricerca.

  • La verifica dell'integrità di parti di aerei, sia all'uscita della fabbrica che durante la manutenzione ordinaria a terra, richiede prove rapide e non distruttive che consentano di accertare l'eventuale presenza di difetti che sfuggono a una pur accurata indagine visiva. A tale scopo sono stati sviluppati negli ultimi anni vari modelli che utilizzano metodi elettrostatici e termici.

    Metodi elettrostatici si utilizzano per cercare un difetto sulla faccia A inaccessibile di una lastra metallica uniforme. Sulla faccia opposta B (accessibile) si possono assegnare flussi di corrente e misurare differenze di potenziale (o viceversa). All'interno della lastra il potenziale soddisfa l'equazione di Laplace. L'apparire del danno è causa di una variazione nel potenziale misurato su B. Quindi, a un modello matematico della causa del danno stesso, corrisponde in modo naturale un problema inverso. Si tratterà comunque di un problema severamente mal posto data la stretta connessione con i problemi di Cauchy per l'equazione di Laplace. Finora sono stati ottenuti risultati teorici e numerici nei casi in cui il difetto su A è modellato:

    (a) con una condizione al contorno di tipo dissipativo (Robin);

    (b) con una perturbazione della geometria della lastra.

    Le ricerche si sono svolte in collaborazione con Santosa (IMA Minneapolis) e Fasino (Università di Udine).

  • I materiali usati per le ali ed i piani di coda degli aerei devono essere nel contempo leggeri e resistenti, pertanto una possibilità economicamente vantaggiosa consiste nell'uso di pannelli in materiale composto da strati di fibra di carbonio immersi in una matrice plastica. La conducibilità termica di tali materiali può essere modellata descrivendo le proprietà microscopiche oppure considerando il materiale globalmente omogeneo ma anisotropo. Si tratta di indagare la presenza di imperfezioni interne, che matematicamente si possono assimilare a discontinuità dei coefficienti della matrice di conduttività. Una delle tecniche di indagine termiche consiste nel riscaldare il pannello e filmare attraverso una telecamera ad infrarossi il decadimento della temperatura. Si tratta di verificare la presenza di irregolarità (bolle o delaminazioni), e di stimarne la profondità e l'estensione. Matematicamente ciò comporta la ricostruzione della matrice di conduttività nell'equazione di conduzione del calore, utilizzando dati aggiuntivi al bordo.

  • La tomografia per impedenza elettrica è un metodo di diagnosi non invasivo con il quale si ottengono informazioni su alcuni parametri elettrici (conducibilità e permittività) nell'interno di un corpo, da misure elettriche (flusso di corrente e differenza di potenziale) effettuate sul bordo del corpo stesso. I vantaggi di tale metodo sono la facilità di trasporto del macchinario necessario e la possibilità di effettuare misurazioni in lunghi intervalli temporali.

    Dal punto di vista matematico si tratta di ricostruire il coefficiente principale di una equazione ellittica conoscendo i valori al contorno delle soluzioni e delle loro derivate. Il problema è stato ampiamente studiato in dimensione maggiore o uguale a tre, mentre il caso bidimensionale presenta ancora aspetti non del tutto risolti. In particolare, non è ancora chiaro se sia possibile ricostruire un coefficiente con valori complessi. Questo caso è interessante dal punto di vista applicativo perché, dal momento che le correnti che si applicano al corpo che si sta ispezionando sono correnti alternate, il coefficiente incognito è effettivamente una funzione a valori complessi nella quale la parte reale rappresenta la conducibilità e la parte immaginaria è proporzionale alla permittività.

  • L'indagine sui modelli di fenomeni chimici e fisici che avvengono nel sottosuolo è motivata principalmente dalla necessità di stimare rischi da gas e sismici in aree vulcaniche. Vi sono molti modelli matematici del flusso di gas nel sottosuolo, corrispondenti a diverse situazioni fisiche. Generalmente si tratta di accoppiare le equazioni fondamentali (equazione di continuità, legge di Darcy ed eventualmente legge dei gas ideali), con ipotesi semplificative e/o modelli sperimentali. L'analisi dei sistemi risultanti, di norma parabolici non lineari, è importante sia da un punto di vista teorico (esistenza, unicità, stabilità), che dal punto di vista numerico.

    Nel sottosuolo di aree vulcaniche si ha il problema di localizzare sorgenti sotterranee a partire da misure fisiche di flusso e da misure chimiche di concentrazione eseguite esclusivamente sulla superficie del suolo. Da un punto di vista matematico la localizzazione della sorgente del gas si riconduce alla determinazione di una opportuna linea di livello della soluzione di una equazione parabolica con dati di Cauchy assegnati su un segmento parallelo all'asse dei tempi. Altri studi avviati allo IAGA riguardano un modello introdotto da Bejan nel 1984 che si adatta al caso in cui il vapore proveniente da una sorgente sotterranea satura uno strato di roccia impermeabile fissurata.

  •  

    Tomografia discreta

    Da un punto di vista matematico, si può dire che la tomografia classica si occupa di ricostruire una funzione a partire da un certo numero di integrali di linea. Applicazioni ben note sono quelle nell'ambito della diagnostica medica. Altre applicazioni si trovano nell'ingegneria industriale ed in particolare nell'analisi non distruttiva di materiali (individuazione di fratture e imperfezioni interne oppure inaccessibili, ecc.). In questa seconda classe di applicazioni, le funzioni da ricostruire sono generalmente discrete, cioè assumono soltanto un numero finito (tipicamente piccolo) di valori. Questa informazione a priori può rivelarsi decisiva e negli ultimi anni si sta cercando di sfruttarla al meglio per aumentare la risoluzione delle immagini tomografiche e per diminuire la quantità di dati necessari alla ricostruzione. Pertanto si è iniziato a sviluppare una discretizzazione della tomografia classica e le ricerche in proposito hanno raggiunto le dimensioni di una vera e propria disciplina che va sotto il nome appunto di tomografia discreta. Una buona panoramica sulle problematiche affrontate è il volume Discrete Tomography: Foundations, Algorithms and Applications (Edited by G. T. Herman and A. Kuba) Birkhauser, Boston, (1999).

    HOME

    INFORMAZIONI

    PERSONE

    PROGETTI DI RICERCA

    EVENTI

    PUBBLICAZIONI

    BIBLIOTECA

    LINKS